Transformações geométricas

Sequência didática

Transformações geométricas

Nesta sequência didática, é proposta a identificação e a construção de figuras simétricas que exigem criatividade e engajamento por parte dos alunos, para que possam reconhecer as transformações simétricas.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação.
Competências específicas	1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Habilidade	(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Objetivo de aprendizagem	Reconhecer e construir figuras por meio de transformações geométricas.
Conteúdo	Transformações geométricas.

Materiais e recursos

Cartolina.

Fita adesiva.

Cola colorida.

Folha de papel sulfite;

Papel quadriculado.

Régua.

Lápis de cor.

Compasso.

Transferidor.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aula 1

Organizar os alunos em grupos, fixar três cartolinas na lousa e identificar cada uma delas com os títulos: reflexão, translação e rotação.

Entregar várias figuras impressas e solicitar para que um representante de cada grupo vá até o quadro para fixar nos cartazes a imagem correspondente a cada simetria. Ao final dessa sequência didática, há algumas figuras que podem ser utilizadas para essa finalidade.

Pode ser que identifiquem mais de uma simetria em cada imagem, por isso, é importante disponibilizar pelo menos duas cópias de cada. Se julgar necessário, explicar sobre os tipos de simetrias.

Em cada grupo, entregar cola colorida e folhas de papel sulfite. De maneira lúdica, apresentar a simetria de reflexão, orientando os alunos a colocar pequenas porções de cola no centro do papel sulfite e, em seguida, dobrar o papel ao meio, pressionando levemente a parte onde está a cola, e desdobrar logo em seguida. O resultado será de figuras coloridas, que apresentam a ideia de simétricas por reflexão. Destacar o eixo de simetria que se formou no vinco.

Entregar para cada aluno uma cópia da figura a seguir e propor que terminem de representá-la, de maneira que ela apresente simetria de reflexão em relação ao eixo destacado.

O aluno poderá também criar outras figuras para produzir a reflexão.

Aulas 2, 3 e 4

Organizar os alunos em duplas e apresentar a simetria de translação, utilizando um software de geometria dinâmica. Solicitar que construam uma figura e escolham a direção, sentido e distância da translação por meio de um vetor. Repetir o processo para que novas figuras sejam construídas a partir da simetria de translação.

Em seguida, propor que os alunos criem um padrão para compor faixas decorativas. Eles devem criar alguns modelos utilizando as ferramentas do software de geometria dinâmica para, depois, reproduzi-los em papel quadriculado. A seguir, um exemplo de faixa decorativa.

Após finalizarem, propor a construção de figuras simétricas por rotação em relação a um ponto, construindo figuras rotacionadas em determinado ângulo e sentido. A seguir um exemplo de construção, utilizando um software de geometria dinâmica.

Os desenhos produzidos poderão ser aproveitados para a confecção de cartões comemorativos. A criatividade nas construções poderá ter a participação do professor de Artes.

Orientar quanto à construção das figuras utilizando as ferramentas do software. É interessante que utilizem a ideia de coordenadas de pontos no plano cartesiano, para indicar os vértices de polígonos representados. Eles também podem compor as figuras sem preenchimento para que possam imprimi-las para colorir depois.

Para finalizar, propor aos alunos que elaborem um texto explicando os tipos de simetrias estudados e como podem obter figuras simétricas utilizando os recursos do software.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldade na compreensão da construção de figuras simétricas, utilizando o software de geometria dinâmica, pode-se fazer uso de compasso e transferidor e demonstrar, por meio de construções geométricas com esses instrumentos, mostrando o processo de rotação, de translação ou de reflexão de uma figura geométrica plana.

Avaliação

As avaliações poderão ser feitas durante o processo de ensino e aprendizagem. Observar se os alunos conseguiram identificar os tipos de simetria em cada figura. Avaliar se eles utilizam os conceitos matemáticos de maneira correta na elaboração do texto. Além disso, preparar algumas atividades que possam colaborar com a avaliação, conforme as propostas a seguir.

1. Observe a figura a seguir e, depois, realize uma transformação geométrica em relação ao ponto P, realizando uma simetria de rotação de 210° no sentido horário.

Resposta pessoal.

2. Analise as transformações a seguir em que primeiro foi construído o triângulo ABC e, depois, por meio de uma transformação geométrica, o triângulo A'B'C' e, em seguida, o triângulo A"B"C".

Em relação às transformações geométricas para obter o triângulo A'B'C' e o triângulo A"B"C", pode-se dizer que:

a) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo x.

b) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, mais uma rotação do triângulo A'B'C' em torno ao ponto D.

c) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto O(0, 0) e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo x.

d) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo y.

Alternativa A.

Ampliação

Pode-se propor aos alunos que façam uma pesquisa sobre a simetria em obras de arte explorando que a Matemática é uma ciência humana, fruto de necessidades e, até mesmo, de manifestações culturais e artísticas. Eles também podem pesquisar sobre o uso de técnicas de computação gráfica utilizadas na produção de jogos digitais ou para efeitos especiais em filmes, por exemplo, nas quais são aplicados diversos conceitos de geometria.

Seleção de figuras que podem ser utilizadas na aula 1

Aloe Polyphylla (ou babosa-espiral).

Jane Rix/Shutterstock.com

Universidade de Glasgow, na Escócia

Allexanderh/Shutterstock.com

Aeronaves.

filippo giuliani/Shutterstock.com

Remadores em um lago italiano.

Oktora/Shutterstock.com

Padrão floral árabe.

Manekina Serafima/Shutterstock.com

Borboleta com asas abertas.

mmalkani/Shutterstock.com

Padrões indianos com elefantes.

Kedofoto/Shutterstock.com

Montanha e lago em Taranaki, na Nova Zelândia.

Angga Dwi Iriyanto/Shutterstock.com

Textura geométrica feita com pedras

joserpizarro/Shutterstock.com

Arquitetura popular de casas geminadas.

Photographee.eu/Shutterstock.com

Vista dianteira de cadeiras em uma sala de espera.

Fonte: PNLD

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Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Sequência didática

Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Nesta sequência didática, serão abordados recursos para a compreensão dos conceitos de bissetriz de um ângulo e de mediatriz de um segmento de reta. Os alunos farão uso do software de geometria dinâmica para desenvolver as ideias de bissetriz e de mediatriz.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas.
Competências específicas	5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Habilidade	(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Objetivo de aprendizagem	Resolver situações-problema envolvendo mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo.
Conteúdos	Mediatriz. Bissetriz.

Materiais e recursos

Varetas de bambu.

Linha para pipa.

Cola.

Tesoura escolar.

Papel de seda colorido.

Computadores com acesso à internet.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Escolher um software de geometria dinâmica, e, ao iniciar a aula, apresentá-lo aos alunos. A aula deverá ser desenvolvida na sala de informática para que eles possam explorar as ferramentas computacionais e, para isso, solicitar inicialmente que utilizem o programa para representar:

um ponto A;

uma semirreta AB e uma semirreta AC;

a semirreta AD, bissetriz do ângulo BAC.

Depois, pedir que determinem a medida de BÂC e dos ângulos formados entre a bissetriz e as semirretas AB e AC, ou seja, dos ângulos BAD e DAC. Com isso, espera-se que os alunos confiram experimentalmente que o ângulo BAC foi dividido em dois ângulos congruentes pela sua bissetriz. Deixar que os alunos explorem o software construindo vários ângulos e traçando suas bissetrizes.

Solicitar que salvem as construções, que abram um novo arquivo e que representem um segmento de reta AB qualquer. Indicar a ferramenta que traça mediatriz e solicitar que tracem a mediatriz do segmento de reta AB orientando que denotem por O o ponto de intersecção entre a mediatriz e o segmento de reta AB. Pedir que meçam os segmentos de retas AO e OB, bem como o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Pedir também que meçam o segmento de reta OB e o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Com isso, espera-se que os alunos verifiquem experimentalmente que a mediatriz divide o segmento de reta AB em dois segmentos de reta congruentes e que a mediatriz é perpendicular a esse segmento de reta.

Em seguida, propor alguns problemas que envolvam a ideia de bissetriz ou mediatriz, como os sugeridos a seguir. Para resolvê-los, orientar os alunos a utilizar as ferramentas do software.

1. No projeto de loteamento de um novo bairro, deseja-se construir uma avenida, indicada por um segmento de reta OC, que esteja à mesma distância de duas ruas, indicadas pelos segmentos de reta OA e OB e representadas a seguir. Represente essa avenida de maneira que satisfaça essa condição.

Espera-se que os alunos construam a bissetriz do ângulo AOB.

Elaborado pelo autor.

2. Os pontos A e B indicados a seguir representam a localização da prefeitura e do hospital, respectivamente, de uma cidade. Pretende-se construir uma nova rodoviária que esteja à mesma distância tanto da prefeitura quanto do hospital. Represente os pontos que satisfazem essa condição.

Resposta: Espera-se que os alunos construam a mediatriz do segmento de reta AB.

Elaborado pelo autor.

Após os alunos resolverem as atividades, solicitar que compartilhem e comparem as respostas obtidas. Se necessário, sistematizar a resolução conduzindo-os a perceber que a bissetriz e a mediatriz são os lugares geométricos que respondem as atividades 1 e 2, respectivamente.

Propor que elaborem outros problemas utilizando a ideia de bissetriz e de mediatriz e que utilizem as ferramentas do software para os resolver. Os problemas podem ser escritos utilizando um editor de textos para que, depois, sejam compartilhados em um blog da turma com a resolução. Incentivar os alunos a acessarem o blog e a resolver alguns dos problemas elaborados pelos colegas.

Aulas 3 e 4

Levar os alunos a perceber que a ideia de mediatriz e a de bissetriz podem estar presentes em contextos geométricos como a fabricação de pipas. Questionar os alunos se brincam com pipas e se sabem construir esse brinquedo. Se algum aluno souber fabricar algum tipo de pipa, deixar que fale algumas particularidades da fabricação explicando-as aos colegas.

Propor a construção de uma armação de pipas utilizando varetas de bambu e linhas de pipa. Passar as instruções orientando-os a medir o comprimento da vareta menor, e a fixar a vareta maior exatamente no ponto médio da outra. Ajustar para que os ângulos formados pelas varetas sejam ângulos retos, orientando-os quanto à fixação das varetas ao utilizar a linha.

Elaborado pelo autor.

Explorar matematicamente a construção fazendo questionamentos, como:

Quanto mede cada parte da vareta menor, de uma extremidade à vareta que a intersecta?

Qual é a medida de cada ângulo formado entre as varetas?

Formalizar com os alunos as propriedades encontradas. Alguns exemplos que poderão ser ditos por eles:

O encontro das varetas é no ponto médio da vareta menor.

As varetas são perpendiculares.

A vareta maior pode representar parte da bissetriz dos ângulos com origem na extremidade da vareta maior e definidos pelas linhas que compõe o contorno da pipa.

A vareta maior pode representar uma parte da mediatriz da vareta menor.

Propor a construção de pipas e possibilitar que os alunos compartilhem outros modelos que conhecem e que sabem construir para que explorem os objetos geométricos e percebam, principalmente, ideias de bissetriz e mediatriz nessas confecções.

Pode-se organizar uma manhã de convivência com as famílias para a produção de pipas com premiações: a mais colorida, a maior pipa, a mais alta etc.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldade, o professor deverá intervir com atividades complementares e auxiliá-lo nessa superação. É importante que o aluno com dificuldade registre, no caderno, as estratégias de resolução das atividades para que ele possa fazer consultas futuras caso haja necessidade. Escolher alguns alunos da turma e pedir a eles que apresentem os conceitos que foram estudados nessa sequência didática.

Avaliação

Verificar se os alunos utilizam a ideia de mediatriz e de bissetriz na resolução de problemas. Propor algumas questões como as indicadas a seguir para verificar se assimilaram os conteúdos.

1. Natália e Júlia costumam ir juntas para o trabalho e sempre se encontram em um ponto que esteja na mesma distância de suas casas. Represente a casa de Natália e Júlia por meio dos pontos A e B e, depois, determine ao menos cinco possíveis pontos em que elas poderiam se encontrar, de modo que esses pontos estejam à mesma distância da casa de ambas.

Verificar se o aluno considera que qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta AB é solução para o problema.

2. Represente a bissetriz dos ângulos indicados a seguir.

a)

b)

Elaborado pelo autor.

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Construção de ângulos, bissetriz e mediatriz

Sequência didática

Construção de ângulos, bissetriz e mediatriz

Nesta sequência didática, serão realizadas construções de ângulos, mediatriz e bissetriz. Os alunos terão a oportunidade de realizar os trabalhos de maneira colaborativa e interativa, em duplas.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
Competências específicas	6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
Habilidade	(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
Objetivo de aprendizagem	Construir ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°, a bissetriz de um ângulo e a mediatriz de um segmento de reta.
Conteúdos	Ângulos. Bissetriz. Mediatriz.

Materiais

Transferidor.

Compasso.

Régua.

Folha de papel sulfite.

Computador com acesso à internet.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula promovendo uma roda de conversa com os alunos a fim de verificar o conhecimento prévio deles em relação a ângulo. Os questionamentos indicados a seguir podem auxiliar nessa conversa.

O que vocês conhecem sobre ângulos?

Quais os instrumentos usados para medir ângulos?

Qual a unidade de medida utilizada para medir ângulos?

Onde podemos observar os ângulos no nosso dia a dia?

Solicitar aos alunos que representem em uma folha de papel sulfite uma circunferência de 8 cm de raio. Em seguida, eles devem colorir a região interna da circunferência, obtendo a representação de um círculo e recortá-lo. Questionar sobre o ângulo realizado pelo compasso para representar essa circunferência, retomando a ideia de ângulo associada ao giro do compasso. Com base nessa representação do círculo obtida, propor aos alunos os seguintes questionamentos.

Se dobrar a representação do círculo ao meio, quantos graus deve ter o giro do compasso para contornar o arco obtido?

Dobrando-o novamente ao meio, quantos graus deve ter o giro do compasso para contornar o arco obtido?

Ao dividir o círculo em seis setores congruentes, qual o ângulo correspondente a cada setor desses?

Na sequência, apresentar aos alunos as etapas para a construção de determinados ângulos utilizando instrumentos de desenho como régua e compasso.

• Construção de um ângulo de 90°

1ª) Com a régua, traçar uma reta r e marcar um ponto A sobre essa reta.

2ª) Com uma abertura qualquer do compasso, fixar a ponta-seca em A e traçar uma circunferência ($C_1$). Nos cruzamentos desta circunferência com a reta r, marcar os pontos B e C.

3ª) Com a ponta-seca do compasso fixa em B, traçar outra circunferência ($C_2$) cuja medida do raio seja maior do que a do raio de $C_1$.

4ª) Com a mesma abertura do compasso da etapa anterior, fixar a ponta-seca em C e traçar outra circunferência ($C_3$).

5ª) No cruzamento das circunferências $C_2$ e $C_3$, marcar os pontos M e N.

6ª) Com a régua, traçar uma reta s que passa por M e N. Os ângulos formados entre r e s medem de 90°.

Propor aos alunos que realizem essas etapas e, ao final da construção, solicitar que, com um transferidor, meçam o ângulo formado entre as retas para verificarem que obtiveram ângulos de 90°. Também é importante orientá-los a traçar as circunferências com traços claros, pois são auxiliares à construção.

Em seguida, questionar os alunos como poderiam construir o ângulo de 45°. Após eles citarem algumas considerações e realizarem tentativas de construção desse ângulo, apresentar as seguintes etapas.

• Construção de um ângulo de 45°

1ª) Construir um ângulo de 90° determinado pelas retas r e s, conforme etapas apresentadas anteriormente. Nesse momento, para facilitar a visualização, as circunferências já construídas podem ser apagadas.

2ª) Com uma abertura qualquer do compasso, fixar a ponta-seca em A e traçar uma circunferência ($C_1$).

3ª) Marcar o ponto E em um dos cruzamentos da circunferência $C_1$ com a reta r.

4ª) Marcar o ponto F em um dos cruzamentos da circunferência $C_1$ com a reta s.

5ª) Com uma abertura qualquer do compasso, maior que a metade da medida da distância entre os pontos E e F, fixar a ponta-seca em E e traçar outra circunferência ($C_2$).

6ª) Com a mesma abertura do compasso da etapa anterior, fixar a ponta-seca em F e traçar outra circunferência ($C_3$).

7ª) Em um dos cruzamentos das circunferências $C_2$ e $C_3$, marcar o ponto M.

8ª) Com a régua, traçar $\overrightarrow{AM}$. Os ângulos $E\hat{A}M$ e $F\hat{A}M$ medem 45°.

Solicitar aos alunos que construam novos ângulos, de 90° e 45°, para verificar se compreenderam essas etapas.

Para complementar, propor aos alunos as seguintes atividades.

1. Represente uma reta r e nela marque um ponto O. Com uma abertura qualquer do compasso, fixe a ponta-seca em O e trace uma circunferência. Em um dos cruzamentos desta circunferência com a reta r, marque o ponto A. Depois, com a mesma abertura do compasso, fixe a ponta-seca em A e trace outra circunferência. Em um dos cruzamentos destas circunferências, marque o ponto B. Por fim, traçar os segmentos de reta AO, AB e OB e colorir a região interna da figura obtida.

Com base nessa construção, responda os itens a seguir.

a) Qual a classificação do triângulo AOB, em relação às medidas dos lados?

Triângulo equilátero.

b) Qual a medida de AÔB? Justifique.

60°, pois em um triângulo equilátero os ângulos internos têm essa medida.

c) Ao traçar duas circunferências de mesmo raio, uma com centro em A e outra em B, e determinar um ponto M em um dos cruzamentos delas, qual será a medida de AÔM? E a medida de BÔM?

AÔM e BÔM serão congruentes a 30°.

2. Retome o que foi feito no item c da atividade anterior e escreva etapas para construir a bissetriz de um ângulo qualquer, utilizando régua e compasso.

Verificar se o aluno indica as seguintes etapas, para um ângulo AOB, considerando que OA = OB: 1ª) Com uma abertura qualquer do compasso, fixar a ponta-seca em A e traçar uma circunferência; 2ª) Com a mesma abertura do compasso da etapa anterior, fixar a ponta-seca em B e traçar outra circunferência; 3ª) Marcar o ponto M em um dos cruzamentos dessas circunferências; 4ª) Com a régua, traçar a semirreta OM que é a bissetriz do ângulo AOB.

Para finalizar a aula, propor aos alunos que escrevam as etapas para construir a bissetriz dos seguintes ângulos: 90°, 60°, 45° e 30°. Explicar que na próxima aula eles utilizarão as etapas apresentadas nessas aulas para construir essas figuras geométricas em um software de geometria dinâmica.

Aulas 3 e 4

Caso a escola possua laboratório de informática com acesso à internet, recomenda-se que estas aulas sejam realizadas neste local. Caso contrário, será necessário ao menos um computador e projetor multimídia para as construções de ângulos, bissetriz de um ângulo e mediatriz de um segmento de reta utilizando os recursos do software de geometria dinâmica.

Propor aos alunos que construam ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° utilizando as ferramentas do software e com base nas etapas apresentadas nas aulas anteriores. Limitar o uso das ferramentas como àquelas que determinam pontos, e que constroem retas e circunferências, a fim de que apliquem os conhecimentos em relação a essas construções.

Depois, propor algumas atividades em que eles utilizam ferramentas do software para construir outros ângulos, de medidas quaisquer e propor que determinem a bissetriz desses ângulos utilizando, agora, apenas as ferramentas que determinam pontos, e que constroem retas e circunferências.

Em seguida, relembrar o conceito de mediatriz de um segmento de reta (a mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a este segmento de reta em seu ponto médio) e propor que, por meio das construções geométricas realizadas na aula anterior, determinem a mediatriz de um segmento qualquer e descrevam as etapas utilizadas. Espera-se que, ao relembrar a construção de um ângulo de 90° os alunos consigam associar essa construção à da mediatriz representando um segmento de reta AB e construindo uma reta perpendicular a ele, passando pelo ponto médio do segmento de reta AB.

Verificar se as duplas conseguiram construir a mediatriz de alguns segmentos de reta e, para finalizar a aula, solicitar que elaborem as etapas para determinar a mediatriz de um segmento de reta AB qualquer.

Para trabalhar dúvidas

Verificar se os alunos compreendem a ideia de ângulo e as construções geométricas realizadas nas aulas. Caso algum aluno apresente dificuldades, pode-se propor que utilize o transferidor para construir ângulos de 90° e de 60° e, depois represente a bissetriz desses ângulos, também utilizando o transferidor. Os esquadros também podem ser utilizados para facilitar a construção de retas perpendiculares.

Avaliação

Observar os alunos durante o processo de ensino-aprendizagem. Acompanhar as construções desenvolvidas para que as dúvidas sejam sanadas rapidamente. Verificar se o aluno compreendeu os conceitos e construções geométricas desenvolvidos nas aulas e se consegue utilizar os instrumentos de desenho geométrico necessários. Propor aos alunos algumas atividades como as sugeridas a seguir, a fim de verificar se eles assimilaram o conteúdo.

1. Ao traçar a bissetriz de um dos ângulos de um triângulo equilátero obtêm-se dois ângulos congruentes a:

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) 90°

Alternativa A.

2. Construa um ângulo AOB de 30° e, depois, a bissetriz desse ângulo. Qual a medida do ângulo formado pela semirreta OA e a bissetriz de AÔB?

15°.

Fonte: PNLD

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