SEQUÊNCIA DIDÁTICA: Equações polinomiais do 1º grau

Sequência didática

Equações polinomiais do 1º grau

Nesta sequência didática serão propostos trabalhos envolvendo equações polinomiais do 1º grau, incluindo a elaboração e resolução de situações relacionadas a esse conceito pelos alunos.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento

Equações polinomiais do 1º grau.

Competência específica

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Habilidade

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Objetivo de aprendizagem

Resolver e elaborar problemas que envolvem equações polinomiais do 1º grau.

Conteúdo

Equações polinomiais do 1º grau.

Materiais e recursos

Folheto de propaganda de mercado.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 6.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e propor que resolvam a atividade a seguir. Para isso, reproduzir e entregar uma cópia da atividade para cada dupla e realizar uma leitura do enunciado com os alunos. Deixar que resolvam da maneira que preferirem.

No jogo pega-varetas, a turma do 7º ano obteve os seguintes resultados ao final de uma partida.

Aluno	Quantidade de varetas por cor
Ana	5 varetas azuis, 1 vareta amarela
Bento	3 varetas amarelas, 3 varetas pretas
Marcelo	2 varetas vermelhas, 1 vareta amarela
Sabrina	1 vareta preta, 3 varetas vermelhas
Pedro	2 varetas verdes, 1 vareta preta

Cada cor de vareta corresponde a uma pontuação, como indicada a seguir:

Preta: 25 pontos

Vermelha: 10 pontos

Azul: 5 pontos

Verde: 2 pontos

Amarela: 1 ponto

a) Determine a pontuação de cada aluno e quem obteve a maior pontuação nessa partida.

Ana: 26 pontos; Bento: 78 pontos; Marcelo: 21 pontos; Sabrina: 55 pontos; Pedro: 29 pontos.

Bento obteve a maior pontuação nessa partida.

b) Sabrina pegou apenas varetas amarelas e verdes. Ela obteve 36 pontos com varetas verdes e 15 pontos com varetas amarelas. Quantas varetas de cada cor ela pegou?

18 verdes e 15 amarelas.

c) Para obter 250 pontos apenas com varetas pretas, quantas varetas dessa cor seriam necessárias?

10 varetas pretas.

d) E para obter 45 pontos apenas com varetas azuis, quantas seria necessário pegar?

9 varetas azuis.

Essa atividade envolve a ideia de equação do 1º grau. Depois de resolvê-la, questionar os alunos como podem fazer para determinar uma pontuação após pegar uma determinada quantidade de varetas de mesma cor. Fazer perguntas como: "Como calcular a pontuação obtida ao pegar 2 varetas verdes?", " E ao pegar 3 varetas verdes?", "E ao pegar 10 varetas verdes?". Em seguida, propor uma situação do tipo: "Quantas varetas verdes são necessárias para se obter 18 pontos?". Nesse caso, os alunos podem escrever a seguinte equação, em que q corresponde à quantidade de varetas verdes sob essas condições:

18 = 2 ‧ q

Nesse caso, os alunos podem determinar por tentativa que a raiz dessa equação é 9, ou seja, são necessárias 9 varetas verdes para se obter 18 pontos.

Conversar com os alunos sobre outras situações em que é possível utilizar uma equação para representá-la, como situações envolvendo preço de produtos (por unidade, por quilograma etc.), valor de uma corrida de táxi cobrada por quilômetros rodados, distância percorrida a uma determinada velocidade constante e por um determinado tempo, entre outras.

Após essa conversa, distribuir para cada dupla um folheto de propaganda de mercado ou de outro estabelecimento comercial que apresente os preços de alguns produtos por unidade, quilograma, pacote etc.

Propor aos alunos que, utilizando as informações contidas no folheto, elaborem quatro problemas envolvendo equação polinomial do 1º grau. Circular pela sala de aula para verificar se eles conseguem articular as informações de maneira coerente e para auxiliá-los em possíveis dúvidas. Informar que utilizarão os problemas que elaboraram na próxima aula.

Aula 3

Iniciar a aula relembrando com os alunos da atividade sobre o jogo pega-varetas e a relação entre a pontuação total relativa a uma cor de vareta e o total de varetas dessa cor. Solicitar mantenham as duplas da aula anterior e que troquem os problemas que elaboraram com outra dupla. Em seguida, pedir que resolvam os problemas elaborados pelos colegas e que registrem os cálculos e estratégias que utilizarem.

Enquanto os alunos resolvem os problemas, circular pela sala de aula e verificar as estratégias utilizadas por eles e, quando julgar conveniente, fazer perguntas e direcionamentos que possam contribuir para que eles percebam a relação de proporção direta nos problemas em que se pode utilizar uma equação do tipo:

$ax=c$ em que a e c são números reais e $a\ne 0$.

Após as duplas terem resolvido os problemas, solicitar que relatem o que acharam mais interessante, e as dificuldades e as estratégias utilizadas para elaborar e resolver os problemas.

Aula 4

Iniciar a aula retomando as ideias utilizadas para resolver os problemas na aula anterior. Se julgar necessário, resolver algum deles na lousa. Em seguida, relembrar também as outras situações que envolvem ideia de equação polinomial do 1º grau, discutidas nas aulas anteriores.

Propor aos alunos que considerem a situação em que um taxista cobra uma tarifa inicial de R$ 5,00 e um valor por quilômetro rodado de R$ 0,45. Perguntar a eles qual seria o valor a ser pago por uma corrida de:

2 km.

8 km.

4,2 km.

Elaborar com a turma uma expressão para representar a situação apresentada, como indicado a seguir, em que x corresponde aos quilômetros rodados e c ao valor cobrado por uma corrida.

$c=\mathrm{4,5}\bullet x+5$, com $x>0$

Em seguida, perguntar quantos quilômetros poderiam ser percorridos com um determinado valor, como R$ 9,50, R$ 7,25 e R$ 10,40. Verificar se, para obter a distância percorrida em quilômetros, os alunos substituem o valor total a ser cobrado na expressão, obtendo uma equação. No caso de se pagar R$ 9,50 pela corrida, tem-se a equação:

$$\mathrm{4,5}\bullet x+5=\mathrm{9,5}$$

Feito isso, propor aos alunos que resolvam algumas atividades como as sugeridas a seguir.

1. Um automóvel sai de uma cidade e percorre uma distância a 95 km/h.

a) Escreva uma expressão que relacione o tempo t (em horas) à distância d (em quilômetros) percorrida por esse automóvel a partir dessa cidade.

d = 95t

b) Qual é a distância percorrida pelo automóvel após 3 horas de percurso?

285 km.

c) Após quanto tempo o automóvel estará a 427,5 km de distância dessa cidade? Para resolver esse item, escreva uma equação.

427,5 = 95t

Após 4,5 horas ou 4h30min.

2. Um automóvel sai da cidade A, percorre 150 km até a cidade B e, depois, mantém uma velocidade constante de 95 km/h em direção à cidade C por um determinado tempo.

a) Escreva uma expressão que represente a situação apresentada e que pode ser utilizada para determinar a distância d (em quilômetros) percorrida desde a cidade A de acordo com o tempo t (em horas) que esse automóvel partiu da cidade B.

d = 150 + 95t.

b) Que distância esse automóvel percorreu desde a cidade A, passadas 3 horas que ele partiu da cidade B?

435 km.

c) Após quanto tempo depois de ter partido da cidade B, esse automóvel estará a 425,5 km de distância da cidade A? Para resolver esse item, escreva uma equação.

425,5 = 150 + 95t

Após aproximadamente 2,9 horas ou 2h54min.

Finalizar a aula fazendo a correção dessas atividades com a turma.

Aulas 5 e 6

Organizar os alunos em duplas e distribuir uma cópia para cada (reproduzidas previamente) das atividades sugeridas a seguir.

1. Em cada item, escrevam uma equação que represente a situação apresentada e, em seguida, resolva-a.

a) O dobro de um número multiplicado por 3 é igual a 36. Qual é esse número?

$6\bullet x=36$

O número é 6.

b) O perímetro de um triângulo equilátero é 51 cm. Qual é a medida do lado desse triângulo?

$3x=51$

A medida do lado é 17 cm.

c) A soma de três números inteiros consecutivos é 72. Quais são esses números?

$3x+3=72$

Os números são: 23, 24 e 25.

d) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número?

$\frac{5}{4}x=80$

O número é 64.

2. Em uma prova contendo 30 questões, Júlia obteve 72 pontos. Sabendo que foram contabilizados 4 pontos para cada questão respondida corretamente, quantas questões Júlia acertou?

18 questões.

3. Ao chegar de viagem no aeroporto, Lúcia chamou um táxi para ir a uma reunião na empresa em que trabalha. Sabendo que esse táxi cobra uma tarifa inicial fixa de R$ 8,00 e R$ 2,20 por quilômetro rodado, responda.

a) Quantos reais o taxímetro indicava no início da corrida?

R$ 8,00

b) Após percorrer 5 km, quantos reais o taxímetro indicava?

R$ 19,00

c) Se Lúcia pagou R$ 67,40 pelo trajeto percorrido, quantos quilômetros o táxi percorreu?

27 km.

4. Elaborem um problema que envolva os números 65,30 e 783,60 e que possa ser resolvido por meio de uma equação do 1º grau. Em seguida, troquem com outra dupla o problema que elaboraram para que uma resolva o da outra.

Resposta pessoal.

Após as duplas terminarem de resolver as atividades, realizar a correção na lousa juntamente com os alunos, solicitando que algumas duplas apresentem suas resoluções para o restante da turma.

Para trabalhar dúvidas

Durante as aulas propostas, verificar se os alunos compreenderam o conceito de equação do 1º grau e se conseguem realizar operações com expressões algébricas. Se necessário, apresentar alguns exemplos de expressões algébricas para retomar como realizar cálculos de adição e subtração de monômios para simplificar essa expressão.

Avaliação

Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Joice estava lendo 8 páginas de um livro por dia para realizar uma avaliação. Mas, após já ter lido 72 páginas de um total de 171 páginas, percebeu que não terminaria de ler esse livro antes da avaliação e resolveu mudar o ritmo de sua leitura. Assim, ela passou a ler 11 páginas por dia. Em quantos dias Joice leu o restante do livro nesse novo ritmo?

Em 9 dias.

2. Marlene produz e vende bolos cobrando uma taxa fixa de R$ 15,00 por encomenda mais um valor por quilograma, dependendo do sabor do bolo. Pelo bolo de chocolate, por exemplo, ela cobra R$ 22,50 o quilograma e pelo bolo de morango, R$ 24,60 o quilograma.

a) Quantos reais Marlene cobraria por 2 kg de bolo de chocolate? E por 2 kg de bolo de morango?

R$ 60,00. R$ 64,20.

b) Com R$ 100,00 é possível comprar quantos quilogramas de bolo de chocolate? E de bolo de morango?

Aproximadamente 3,78 kg de bolo de chocolate. Aproximadamente 3,46 kg de bolo de morango.

Ampliação

Pode-se explorar a ideia de variável por meio da utilização de planilhas eletrônicas propondo, por exemplo, que os alunos organizem, em uma das colunas, a quantidade (x) de certo produto ou serviço e, em outra coluna, o valor total da compra (T), que pode ser obtido digitando uma expressão indicando alguns cálculos. Dessa maneira, espera-se que os alunos percebam que na primeira coluna estão indicados os valores atribuídos às variáveis de uma expressão algébrica e, na segunda coluna, os valores numéricos correspondentes.

Fonte: PNLD

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SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS: e expressões algébricas

Sequência didática

Sequências e expressões algébricas

Nesta sequência didática serão exploradas algumas sequências definidas de maneira recursiva, numéricas e figurais, para realizar o estudo com expressões algébricas.

A BNCC na sala de aula

Linguagem algébrica: variável e incógnita.Objetos de conhecimento

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica.

Competência específica

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Habilidades

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Objetivo de aprendizagem

Reconhecer o padrão que determina sequências numéricas e representá-lo por meio de uma expressão algébrica.

Conteúdo

Expressões algébricas.

Materiais e recursos

Projetor multimídia e/ou sequências de figuras impressas.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e conversar com eles a respeito da utilização de alguns símbolos em diversas situações do dia a dia. Pode-se explorar, por exemplo, os símbolos utilizados para indicar sinalizações no trânsito ou atendimento preferencial. Para isso, apresentar algumas imagens de símbolos utilizadas em placas de trânsito, como as sugeridas a seguir.

Elaborado pelo autor.

Sinalização que indica "dê a preferência".

Elaborado pelo autor.

Sinalização que indica "proibido estacionar".

Pode-se propor a leitura de notícias veiculadas na mídia relacionadas aos símbolos de Acessibilidade, como as sugeridas a seguir.

VENTURA, L. A. S. ONU cria novo símbolo para acessibilidade. Estadão. Disponível em: <https://brasil.estadao.com.br/blogs/vencer-limites/onu-cria-novo-simbolo-para-acessibilidade>. Acesso em: 22 out. 2018.

PREFEITURA DE SÃO PAULO. Símbolos de acessibilidade. Disponível em: <www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/pessoa_com_deficiencia/a_imprensa/index.php?p=262211>. Acesso em: 22 out. 2018.

Desenvolver a conversa perguntando aos alunos que outros símbolos eles conhecem, onde são utilizados, qual a importância de seu uso para a vida em sociedade e se acham que esses símbolos são sempre respeitados no dia a dia pelas pessoas.

Em seguida, perguntar aos alunos se na Matemática também são utilizados símbolos e solicitar que citem os que lembrarem. Comentar que, na Matemática, são utilizados símbolos em diversas situações, como por exemplo para indicar operações ou uma igualdade. Relembrar que, em Álgebra, letras podem ser utilizadas como símbolos para representar números desconhecidos (incógnitas) ou números que podem variar (variáveis).

Antes de iniciar o trabalho com expressões algébricas e sequências, propor aos alunos que escrevam as igualdades a seguir no caderno, acrescentando parênteses de maneira que elas sejam verdadeiras.

15 + 3 ‧ 4 = 72

(15 + 3) ‧ 4 = 72

25 – 5 : 5 + 5 = 2

(25 – 5) : (5 + 5) = 2

32 : 8 – 4 ‧ 17 = 0

(32 : 8 – 4) ‧ 17 = 0

32 : 8 – 4 ‧ 17 = 136

32 : (8 – 4) ‧ 17 = 136

Após resolverem os itens propostos, solicitar que cada aluno:

pense em um número entre 1 e 10;

adicione 5 a esse número;

multiplique o resultado obtido por 3;

subtraia 15 desse resultado;

divida o resultado por 3.

Perguntar que número eles obtiveram como resultado, que deve ser igual ao número escolhido inicialmente. Na lousa, realizar simulações para que os alunos percebam que independentemente do número escolhido, o resultado final sempre será o número inicial, e questioná-los por que isso acontece. Por exemplo:

Solicitar que escrevam uma expressão algébrica que represente o resultado obtido a partir dos procedimentos citados e registrá-la na lousa.

$\left[\right(x+5)‧3-15]:3$, com $1<x<10$

Com os alunos, simplificar essa expressão e verificar se eles percebem que ela é equivalente a "x", que corresponde ao número que escolherem inicialmente.

$$\left[\left(x+5\right)‧3-15\right]:3$$	=	$\left[3x+15-15\right]:3$=
	=	$\left[3x\right]:3$= $x$

Explicar que as letras em uma expressão algébrica, como nesse caso, são chamadas de variáveis e podem ser substituídas por qualquer número, salvo possíveis restrições estabelecidas inicialmente.

Agora, escrever na lousa a expressão algébrica e a equação a seguir, a fim de que percebam diferenças entre variável e incógnita.

$2x+3$ e $2x+3=5$

Solicitar que atribuam alguns valores para x na expressão algébrica, como exemplos a seguir, e verifiquem os resultados obtidos.

$2\bullet 1+3=5$

$2\bullet 2+3=7$

$2\bullet \left(-2\right)+3=-1$

Verificar se os alunos perceberam que, na expressão algébrica, x pode ser substituído por qualquer número, diferentemente da equação, em que, dependendo do número que substituir x, a igualdade não se mantém verdadeira. Dizer que, nesse caso, x só pode ser substituído por 1 na equação. E, ainda, que as letras que representam números desconhecidos em uma equação são chamadas de incógnitas.

É importante que os alunos compreendam a diferença entre incógnita e variável. Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para explorar esses conceitos.

1. Sabe-se que o produto entre dois números naturais é 12.

a) O que podemos utilizar para representar essa situação: uma expressão algébrica ou uma equação? Escreva-a.

Uma equação. Uma resposta possível: $x\bullet y=12$.

b) No item anterior, você utilizou alguma letra para escrever uma expressão algébrica ou uma equação? Elas são incógnitas ou variáveis?

Sim. Incógnitas.

c) Determine quais são os dois números naturais cujo produto é igual a 12.

Algumas respostas possíveis: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4.

2. Observe a representação de retângulo a seguir e determine seu perímetro.

4a + 4.

Elaborado pelo autor.

Para finalizar essas aulas, propor que cada dupla elabore um problema ou alguns procedimentos para se adivinhar um número, envolvendo expressões algébricas ou equações. Em seguida, solicitar que troquem o problema com outra dupla e que resolvam o problema elaborado por ela.

Aulas 3 e 4

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e representar na lousa a seguinte sequência de figuras formadas por círculos.

Elaborado pelo autor.

Perguntar aos alunos como eles acham que seria a próxima figura dessa sequência e que justifiquem suas respostas.

Conduzir a atividade de modo que os alunos percebam, por exemplo, que a partir da primeira figura, são acrescentados um círculo na fileira vertical e um círculo na fileira horizontal a cada uma das figuras seguintes. A partir disso, concluir com o apoio deles que, para uma figura de posição n (sendo n um número natural maior do que 0), é possível indicar a quantidade de círculos que compõem a figura pela seguinte expressão algébrica:

$$1+\left(n–1\right)+(n–1)$$

Que é equivalente a:

$$2n-1$$

Após esse momento, propor outras atividades, como as sugeridas a seguir.

1. São apresentadas a seguir as primeiras figuras de uma sequência. Essas figuras são formadas por quadrinhos. Observe e responda às questões.

Elaborado pelo autor.

a) A primeira figura dessa sequência é formada por quantos quadrinhos? Essa quantidade corresponde a um número quadrado perfeito?

9 quadrinhos. Sim.

b) Realize as questões do item anterior para a segunda e terceira figuras.

Figura 2: 16 quadrinhos; sim. Figura 3: 25 quadrinhos; sim.

c) De quantos quadrinhos você acha que seria composta a Figura 4?

Resposta esperada: 36 quadrinhos.

d) Escreva uma expressão algébrica para representar a sequência da quantidade de quadrinhos de cada figura, sendo n a posição da figura na sequência (com n um número natural maior do que zero).

Resposta esperada: (n+2)² que é equivalente a n²+4n+4.

2. A sequência a seguir é a dos números primos:

2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,  29,  31, ...

a) Qual é o próximo número dessa sequência?

37

b) Existe alguma expressão algébrica que permita determinar qualquer termo dessa sequência de maneira não recursiva?

Explicar aos alunos que não há uma expressão algébrica que permita determinar qualquer termo da sequência dos números primos de maneira não recursiva.

3. Observe abaixo uma sequência de figuras formadas por triângulos equiláteros.

Elaborado pelo autor.

Agora responda:

a) Quantos segmentos de reta, correspondente a um lado desses triângulos equiláteros, compõem cada uma dessas três primeiras figuras da sequência?

1ª figura: 3 segmentos de reta; 2ª figura: 5 segmentos de reta; 3ª figura: 7 segmentos de reta.

b) Escreva uma expressão algébrica para determinar a quantidade de segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros, que compõem a n-ésima figura dessa sequência.

2n + 1.

c) Quantos segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros, compõem a 4ª figura dessa sequência? E a 10ª figura?

9 segmentos de reta. 21 segmentos de reta.

d) Certa figura dessa sequência é formada por 47 segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros. Qual a posição ocupada por essa figura na sequência?

23ª figura da sequência.

Para finalizar a aula, propor aos alunos que elaborem uma sequência numérica que possa ser expressa por uma sequência de figuras, como exemplificado nas atividades apresentadas.

Para trabalhar dúvidas

Verificar se os alunos conseguem generalizar sequências numéricas ou figurais por meio de expressões algébricas. Para auxiliá-los, pode-se, por exemplo, propor uma expressão algébrica e depois listar os primeiros termos da sequência obtida a partir dela. Procurar utilizar sequências que os alunos já compreenderam os padrões ou já generalizaram por meio de expressões algébricas.

Avaliação

Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Para cada sequência numérica a seguir, liste os quatro próximos termos.

a) 7, 11, 15, 19, 23

Resposta esperada: 27, 31, 35, 39.

b) 18, 13, 8, 3, –2

Resposta esperada: –7, –12, –17, –22.

c) 1, 8, 27, 64, 125

Resposta esperada: 216, 343, 512, 729.

d) 10, 110, 1 110, 11 110, 111 110

Resposta esperada: 1 111 110, 11 111 110, 111 111 110, 1 111 111 110.

2. Sendo n um número natural maior do que zero, liste os quatro primeiros termos das sequências dadas por:

a) n² + n

2, 6, 12, 20.

b) n² – n

0, 2, 6, 12.

c) 2n – 3n

–1, –2, –3, –4.

3. Observe a sequência de figuras a seguir e determine uma expressão que indique a quantidade de pontos que formam a figura de posição n, sendo n um número natural maior do que zero.

Elaborado pelo autor.

Resposta esperada: 2n+3.

Fonte: PNLD

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