Vistas ortogonais e objetos em perspectiva

Sequência didática

Vistas ortogonais e objetos em perspectiva

Nesta sequência didática, serão abordados o conceito de vistas ortogonais e a representação de objetos em perspectiva, com a utilização de objetos comuns no dia a dia dos alunos, tais como caixas, mobílias etc.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Vistas ortogonais de figuras espaciais.
Competência específica	8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Habilidade	(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Objetivo de aprendizagem	Facilitar a visualização ortogonal e a representação de objetos por meio da perspectiva.
Conteúdo	Reconhecer vistas ortogonais e a representação de objetos em perspectiva.

Materiais e recursos

Cartolina.

Embalagens vazias.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 3.

Aula 1

Iniciar a aula identificando as formas geométricas presentes em objetos da sala de aula, objetivando a identificação das faces dos objetos. Utilizar como referência um objeto com formato como o de blocos retangulares para explorar a construção da planificação de cada face. Nesse contexto, poderá ser utilizado uma caixa de giz, o armário da sala ou até mesmo embalagens, como caixas de sapato.

Por exemplo, considerando um armário com as seguintes dimensões:

1,80 m de altura.

1,50 m de largura.

0,50 m de profundidade.

Anotar na lousa as dimensões do armário e fazer as transformações em escala adequada para o desenho, tanto na lousa, quanto no caderno. Utilizando a escala 1 : 10 na representação feita na lousa, por exemplo, temos:

18 cm de altura.

15 cm de largura.

5 cm de profundidade.

Representar cada uma das faces obedecendo a escala adotada. Depois, propor aos alunos que representem a vista ortogonal frontal, superior e lateral do objeto. Uma possibilidade é que eles obtenham as seguintes representações:

Elaborado pelo autor.

Solicitar aos alunos que tragam embalagens vazias para a próxima aula.

Aulas 2 e 3

Retomar a aula anterior e compartilhar entre os alunos os desenhos das vistas do armário (ou outro objeto escolhido) entre os alunos, para que um possa observar as representações feitas pelo outro e realizar comparações. Promover um momento de debate.

Organizar os alunos em duplas ou trios. Discutir sobre cada embalagem trazida, associando-as, quando possível, a figuras geométricas espaciais, e selecionar algumas para serem utilizadas na atividade. Determinar as escalas mais adequadas para o desenvolvimento do trabalho.

Solicitar aos alunos que:

meçam as embalagens e registrem as dimensões em centímetros;

realizem as conversões das medidas reais para a escala adotada e registrem;

representem a planificação da embalagem;

representem a vista ortogonal frontal, superior e lateral.

Após realizarem essas etapas, propor que desenhem os objetos em perspectiva com um ponto de fuga. Orientar que o objeto ou embalagem fique no centro da mesa e os alunos do grupo sentados ao redor dele, para que cada um tenha uma perspectiva diferente.

Ao final da aula, propor aos alunos que comparem as representações obtidas. Conversar com eles sobre as diferentes perspectivas de um mesmo objeto e sobre a importância, por exemplo, do desenho técnico em algumas áreas do conhecimento como arquitetura, construção civil, design, criação de protótipos, coleções de miniaturas em escala, dentre outros. As produções podem ser expostas em um mural na escola.

Para trabalhar dúvidas

Caso os alunos não compreendam a projeção ortogonal, pode-se explorar a sombra de objetos projetada ortogonalmente em uma superfície plana para explorar a ideia. Em relação aos desenhos em perspectiva, pode-se explorar figuras ou fotografias de objetos tridimensionais, ou de ambientes de uma casa, por exemplo, evidenciando os pontos de fugas, a linha do horizonte etc.

Avaliação

Analisar a participação dos alunos durante as discussões e consultar os materiais produzidos pela turma. Adicionalmente, podem ser propostas algumas atividades de avaliação para analisar a compreensão dos alunos acerca dos conteúdos estudados, como as indicadas a seguir.

1. Dentre as representações a seguir, a que não representa a vista ortogonal de um cilindro reto é:

a) b) c)

Elaborado pelo autor.

Alternativa C.

2. Represente um bloco retangular em perspectiva utilizando o ponto P como ponto de fuga.

Há outras possibilidades de resposta.

Elaborado pelo autor.

Ampliação

Pode-se utilizar um software de geometria dinâmica para trabalhar atividades em que os alunos representam objetos em perspectiva ou a projeção ortogonal de figuras geométricas espaciais. Além disso, na maioria de softwares desse tipo é possível representar figuras geométricas espaciais de maneira interativa, o que contribui com o desenvolvimento da habilidade proposta para essa sequência didática.

Fonte: PNLD

Créditos:

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Ângulos centrais, ângulos inscritos, arcos de circunferência e polígonos regulares

Sequência didática

Ângulos centrais, ângulos inscritos, arcos de circunferência e polígonos regulares

Nesta sequência didática, serão desenvolvidas atividades utilizando ferramentas de um software de geometria dinâmica para estabelecer relações entre ângulos centrais e ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Também será explorada a construção de polígonos regulares, utilizando instrumentos de desenho geométrico.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento	Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo. Polígonos regulares.
Competência específica	6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
Habilidades	(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Objetivos de aprendizagem	Estabelecer a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Construir polígono regular utilizando instrumentos de desenho.
Conteúdos	Ângulos centrais. Ângulos inscritos. Arcos de circunferência. Polígonos regulares.

Materiais e recursos

Computadores com software de geometria dinâmica.

Régua.

Compasso.

Transferidor.

Folhas de papel sulfite.

Calculadora.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5.

Aulas 1 e 2

Agendar para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática. Organizar os alunos em duplas e propor que utilizem as ferramentas de algum software de geometria dinâmica para representar circunferências. Deixá-los fazer algumas construções livremente e, depois, propor que façam as seguintes representações a fim de que se familiarize com as ferramentas do software:

uma circunferência de raio de 5 unidades de comprimento (u.c.);

uma circunferência, dados o centro e um ponto dela;

uma circunferência, dados três pontos dela;

arcos de circunferência de raio unitário com indicação do ângulo central.

Explicar aos alunos que o objetivo dessas aulas será estabelecer relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. Em seguida, orientar que deixem visível na área de trabalho do software apenas a malha quadriculada principal, sem os eixos do plano cartesiano. Também é importante que a distância entre os quadrinhos da malha seja fixa de modo que, ao ampliar ou reduzir a visualização da malha (aplicar zoom), a quantidade de quadrinhos não se altere, conforme indicado nas figuras a seguir.

Elaborado pelo autor.

Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (sem zoom).

Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (com zoom).

Elaborado pelo autor.

Se possível, configurar o ambiente de trabalho do software dessa maneira antes da aula. Após fazer essas considerações, e com o ambiente de trabalho do software configurado adequadamente, propor a eles que façam os procedimentos indicados a seguir.

1º) Represente uma circunferência C' de raio unitário e centro no ponto A.

2º) Represente dois pontos B e C dessa circunferência e, em seguida, o arco .

3º) Represente os segmentos de reta AB e AC e o ângulo BAC, deixando visível a medida de BÂC.

4º) Marque um ponto D sobre a circunferência, fora do arco , e construa o ângulo inscrito BDC e meça-o.

Espera-se que os alunos finalizem o procedimento obtendo a seguinte representação:

Elaborado pelo autor.

Orientar os alunos a construírem um quadro como o indicado a seguir. Para isso, eles podem utilizar uma planilha eletrônica para determinar a razão entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes.

Medida do ângulo central BAC	Medida do ângulo inscrito BDC	$$\frac{MedidadoângulocentralBAC}{MedidadoânguloinscritoBDC}$$
70,24°	35,12°	2

Após terem organizado o quadro, solicitar que façam o registro das medidas e determinem a razão indicada. Em seguida, propor que movimentem o ponto C de modo que o ângulo central BAC e o ângulo inscrito BDC sejam ajustados. Pedir que anotem as novas medidas e razões no quadro elaborado anteriormente.

Medida do ângulo central BAC	Medida do ângulo inscrito BDC	$$\frac{MedidadoângulocentralBAC}{MedidadoânguloinscritoBDC}$$
70,24°	35,12°	2
90°	45°	2
130,8°	65,4°	2
280°	140°	2

Exemplo de medidas e razões que podem ser obtidas.

Ao finalizarem, promover uma roda de conversa a fim de que os alunos compartilhem as medidas aferidas e conversem sobre a relação entre a medida do ângulo central e a medida do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, a medida do ângulo central corresponde ao dobro da medida do ângulo inscrito. Propor que sistematizem essa relação, coletiva e colaborativamente, escrevendo um texto para explicá-la.

Aula 3

Retomar a relação entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência, explorada na aula anterior. Explicar aos alunos que, nessa aula, eles explorarão a construção de polígonos regulares a partir da medida do ângulo central e, depois, determinarão estratégias de representar um polígono regular, dada a medida de seus lados.

Organizar os alunos em grupos de até quatro integrantes e propor a eles que representem, em uma folha de papel sulfite, uma circunferência C' com centro no ponto O e façam os procedimentos indicados a seguir.

1º) Marcar um ponto A na circunferência e representar o segmento de reta OA.

2º) Dividir 360° por 3 e representar o ângulo central AOB com a medida determinada (120°).

3º) Com a abertura do compasso equivalente à medida AB e com centro no ponto B, traçar um arco de circunferência que cruze a circunferência C' e marcar nesse cruzamento o ponto C.

4º) Traçar $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CA}$ e colorir a região interna para representar o triângulo ABC.

Ao finalizarem, perguntar qual tipo de polígono foi obtido, conduzindo-os a perceber que se trata de um triângulo equilátero. Após isso, solicitar que construam, seguindo procedimentos análogos, um quadrado e um pentágono regular e anotem o passo a passo utilizado nessas construções.

Possibilitar que compartilhem o passo a passo com os demais grupos a fim de que percebam os procedimentos mais práticos. Espera-se que eles percebam que, para determinar o quadrado, pode-se representar um ângulo central de 90° (360° : 4 = 90°) e para representar um pentágono regular, um ângulo central de 72° (360° : 5 = 72°).

Para finalizar a aula, propor que elaborem um fluxograma para representar o passo a passo da construção de um polígono regular qualquer a partir da quantidade de lados do polígono e a relação com o ângulo central de uma circunferência.

Aulas 4 e 5

Para iniciar essas aulas, solicitar aos alunos que compartilhem os fluxogramas elaborados na aula anterior e que comentem os processos indicados neles. Após isso, questionar como poderiam representar, utilizando régua e compasso, um polígono regular, dada a medida dos lados.

Organizá-los em grupos de até três integrantes e propor que conversem entre si para descrever um passo a passo para a construção de um triângulo equilátero de lados medindo 12 cm, por exemplo. Eles devem realizar e explorar as construções, validando aquelas em que obtiverem o resultado esperado e registrando-a em um algoritmo. Enquanto realizam a atividade, circular pela sala de aula para orientar os grupos nas construções, validar os procedimentos e auxiliá-los quanto às construções.

Depois, solicitar que compartilhem os algoritmos e que um grupo verifique o procedimento proposto pelo outro. De maneira análoga, explorar a construção de um quadrado e de um hexágono regular, dada a medida dos lados de cada um desses polígonos. Para finalizar a aula, elaborar um texto de maneira a sistematizar as construções realizadas nessas aulas.

Para trabalhar dúvidas

Verificar se os alunos sabem construir ângulos, mediatrizes e bissetriz (que podem ser necessárias para representar os polígonos regulares). Para auxiliar e facilitar os procedimentos necessários para as construções geométricas propostas, pode-se indicar que utilizem esquadros e transferidor.

Do mesmo modo, pode-se imprimir algumas representações de circunferência e de ângulos centrais e inscritos correspondentes a um mesmo arco para que os alunos meçam esses ângulos e verifiquem a relação estudada.

Avaliação

Avaliar se os alunos conseguiram utilizar as ferramentas do software de geometria dinâmica e os instrumentos de desenho geométrico. Verificar se compreendem a relação entre a medida do ângulo central e a do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência e se representam adequadamente polígonos regulares, dada a medida dos lados.

Propor também algumas atividades como as sugeridas a seguir.

1. Represente uma circunferência de 10 cm de diâmetro e um ângulo central de 50°. Depois, determine o comprimento do arco  correspondente a esse ângulo e a medida de um ângulo inscrito correspondente a esse mesmo arco.

O aluno deve representar uma circunferência com raio de 5 cm e um ângulo central de 50°. O comprimento do arco  correspondente a esse ângulo central será aproximadamente de 4,36 cm. Já o ângulo inscrito deve ter 25°, correspondente à metade do ângulo central.

2. Represente um triângulo equilátero e um hexágono regular cujos lados medem 4 cm. Depois, explique o passo a passo utilizado nessas construções.

Verificar a representação dos polígonos regulares e o procedimento indicado pelo aluno.

Ampliação

Pode-se usar as ferramentas do software de geometria dinâmica para explorar a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos, correspondentes a um mesmo arco de circunferência por meio de uma atividade investigativa. A construção de polígonos regulares, dada a medida de seus lados, também pode ser explorada por meio dessas ferramentas digitais.

Fonte: PNLD

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