Ângulos centrais, ângulos inscritos, arcos de circunferência e polígonos regulares

Sequência didática

Ângulos centrais, ângulos inscritos, arcos de circunferência e polígonos regulares

Nesta sequência didática, serão desenvolvidas atividades utilizando ferramentas de um software de geometria dinâmica para estabelecer relações entre ângulos centrais e ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Também será explorada a construção de polígonos regulares, utilizando instrumentos de desenho geométrico.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento	Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo. Polígonos regulares.
Competência específica	6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
Habilidades	(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica. (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Objetivos de aprendizagem	Estabelecer a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Construir polígono regular utilizando instrumentos de desenho.
Conteúdos	Ângulos centrais. Ângulos inscritos. Arcos de circunferência. Polígonos regulares.

Materiais e recursos

Computadores com software de geometria dinâmica.

Régua.

Compasso.

Transferidor.

Folhas de papel sulfite.

Calculadora.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5.

Aulas 1 e 2

Agendar para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática. Organizar os alunos em duplas e propor que utilizem as ferramentas de algum software de geometria dinâmica para representar circunferências. Deixá-los fazer algumas construções livremente e, depois, propor que façam as seguintes representações a fim de que se familiarize com as ferramentas do software:

uma circunferência de raio de 5 unidades de comprimento (u.c.);

uma circunferência, dados o centro e um ponto dela;

uma circunferência, dados três pontos dela;

arcos de circunferência de raio unitário com indicação do ângulo central.

Explicar aos alunos que o objetivo dessas aulas será estabelecer relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. Em seguida, orientar que deixem visível na área de trabalho do software apenas a malha quadriculada principal, sem os eixos do plano cartesiano. Também é importante que a distância entre os quadrinhos da malha seja fixa de modo que, ao ampliar ou reduzir a visualização da malha (aplicar zoom), a quantidade de quadrinhos não se altere, conforme indicado nas figuras a seguir.

Elaborado pelo autor.

Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (sem zoom).

Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (com zoom).

Elaborado pelo autor.

Se possível, configurar o ambiente de trabalho do software dessa maneira antes da aula. Após fazer essas considerações, e com o ambiente de trabalho do software configurado adequadamente, propor a eles que façam os procedimentos indicados a seguir.

1º) Represente uma circunferência C' de raio unitário e centro no ponto A.

2º) Represente dois pontos B e C dessa circunferência e, em seguida, o arco .

3º) Represente os segmentos de reta AB e AC e o ângulo BAC, deixando visível a medida de BÂC.

4º) Marque um ponto D sobre a circunferência, fora do arco , e construa o ângulo inscrito BDC e meça-o.

Espera-se que os alunos finalizem o procedimento obtendo a seguinte representação:

Elaborado pelo autor.

Orientar os alunos a construírem um quadro como o indicado a seguir. Para isso, eles podem utilizar uma planilha eletrônica para determinar a razão entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes.

Medida do ângulo central BAC	Medida do ângulo inscrito BDC	$$\frac{MedidadoângulocentralBAC}{MedidadoânguloinscritoBDC}$$
70,24°	35,12°	2

Após terem organizado o quadro, solicitar que façam o registro das medidas e determinem a razão indicada. Em seguida, propor que movimentem o ponto C de modo que o ângulo central BAC e o ângulo inscrito BDC sejam ajustados. Pedir que anotem as novas medidas e razões no quadro elaborado anteriormente.

Medida do ângulo central BAC	Medida do ângulo inscrito BDC	$$\frac{MedidadoângulocentralBAC}{MedidadoânguloinscritoBDC}$$
70,24°	35,12°	2
90°	45°	2
130,8°	65,4°	2
280°	140°	2

Exemplo de medidas e razões que podem ser obtidas.

Ao finalizarem, promover uma roda de conversa a fim de que os alunos compartilhem as medidas aferidas e conversem sobre a relação entre a medida do ângulo central e a medida do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, a medida do ângulo central corresponde ao dobro da medida do ângulo inscrito. Propor que sistematizem essa relação, coletiva e colaborativamente, escrevendo um texto para explicá-la.

Aula 3

Retomar a relação entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência, explorada na aula anterior. Explicar aos alunos que, nessa aula, eles explorarão a construção de polígonos regulares a partir da medida do ângulo central e, depois, determinarão estratégias de representar um polígono regular, dada a medida de seus lados.

Organizar os alunos em grupos de até quatro integrantes e propor a eles que representem, em uma folha de papel sulfite, uma circunferência C' com centro no ponto O e façam os procedimentos indicados a seguir.

1º) Marcar um ponto A na circunferência e representar o segmento de reta OA.

2º) Dividir 360° por 3 e representar o ângulo central AOB com a medida determinada (120°).

3º) Com a abertura do compasso equivalente à medida AB e com centro no ponto B, traçar um arco de circunferência que cruze a circunferência C' e marcar nesse cruzamento o ponto C.

4º) Traçar $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CA}$ e colorir a região interna para representar o triângulo ABC.

Ao finalizarem, perguntar qual tipo de polígono foi obtido, conduzindo-os a perceber que se trata de um triângulo equilátero. Após isso, solicitar que construam, seguindo procedimentos análogos, um quadrado e um pentágono regular e anotem o passo a passo utilizado nessas construções.

Possibilitar que compartilhem o passo a passo com os demais grupos a fim de que percebam os procedimentos mais práticos. Espera-se que eles percebam que, para determinar o quadrado, pode-se representar um ângulo central de 90° (360° : 4 = 90°) e para representar um pentágono regular, um ângulo central de 72° (360° : 5 = 72°).

Para finalizar a aula, propor que elaborem um fluxograma para representar o passo a passo da construção de um polígono regular qualquer a partir da quantidade de lados do polígono e a relação com o ângulo central de uma circunferência.

Aulas 4 e 5

Para iniciar essas aulas, solicitar aos alunos que compartilhem os fluxogramas elaborados na aula anterior e que comentem os processos indicados neles. Após isso, questionar como poderiam representar, utilizando régua e compasso, um polígono regular, dada a medida dos lados.

Organizá-los em grupos de até três integrantes e propor que conversem entre si para descrever um passo a passo para a construção de um triângulo equilátero de lados medindo 12 cm, por exemplo. Eles devem realizar e explorar as construções, validando aquelas em que obtiverem o resultado esperado e registrando-a em um algoritmo. Enquanto realizam a atividade, circular pela sala de aula para orientar os grupos nas construções, validar os procedimentos e auxiliá-los quanto às construções.

Depois, solicitar que compartilhem os algoritmos e que um grupo verifique o procedimento proposto pelo outro. De maneira análoga, explorar a construção de um quadrado e de um hexágono regular, dada a medida dos lados de cada um desses polígonos. Para finalizar a aula, elaborar um texto de maneira a sistematizar as construções realizadas nessas aulas.

Para trabalhar dúvidas

Verificar se os alunos sabem construir ângulos, mediatrizes e bissetriz (que podem ser necessárias para representar os polígonos regulares). Para auxiliar e facilitar os procedimentos necessários para as construções geométricas propostas, pode-se indicar que utilizem esquadros e transferidor.

Do mesmo modo, pode-se imprimir algumas representações de circunferência e de ângulos centrais e inscritos correspondentes a um mesmo arco para que os alunos meçam esses ângulos e verifiquem a relação estudada.

Avaliação

Avaliar se os alunos conseguiram utilizar as ferramentas do software de geometria dinâmica e os instrumentos de desenho geométrico. Verificar se compreendem a relação entre a medida do ângulo central e a do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência e se representam adequadamente polígonos regulares, dada a medida dos lados.

Propor também algumas atividades como as sugeridas a seguir.

1. Represente uma circunferência de 10 cm de diâmetro e um ângulo central de 50°. Depois, determine o comprimento do arco  correspondente a esse ângulo e a medida de um ângulo inscrito correspondente a esse mesmo arco.

O aluno deve representar uma circunferência com raio de 5 cm e um ângulo central de 50°. O comprimento do arco  correspondente a esse ângulo central será aproximadamente de 4,36 cm. Já o ângulo inscrito deve ter 25°, correspondente à metade do ângulo central.

2. Represente um triângulo equilátero e um hexágono regular cujos lados medem 4 cm. Depois, explique o passo a passo utilizado nessas construções.

Verificar a representação dos polígonos regulares e o procedimento indicado pelo aluno.

Ampliação

Pode-se usar as ferramentas do software de geometria dinâmica para explorar a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos, correspondentes a um mesmo arco de circunferência por meio de uma atividade investigativa. A construção de polígonos regulares, dada a medida de seus lados, também pode ser explorada por meio dessas ferramentas digitais.

Fonte: PNLD